パラダイムの最新調査：ユニスワップの金融錬金術

注記：

研究者らは、Uniswap 流動性プロバイダー (LP) が裁定取引のたびに損失を被ったとしても、場合によってはボラティリティハーベスティングにより、単にコインを保有するよりもパフォーマンスが向上する可能性があると考えています。この場合、可能な限り多くの再バランス調整を可能にするために、手数料設定は可能な限りゼロに近づける必要がありますが、ゼロにはなりません。

原著者は、投資機関パラダイムの研究員であり、Uniswapのシードラウンド投資家でもあるデイブ・ホワイト、マーティン・タッシー、チャーリー・ノイズ、ダン・ロビンソンです。

容赦ない裁定取引により、Uniswap LP は富を得た (出典)。

1. 問題

10月14日、チャーリー・ノイズ氏は、ダン・ロビンソン氏と議論している問題についてTwitterに投稿した。

「Uniswap の資産ペアの場合、最適な手数料はいくらでしょうか? この最適な手数料は、変動損失を差し引いたアンバランスなポートフォリオを上回ることができるでしょうか、あるいは成長を上回ることさえできるでしょうか?」

1.1 背景

自動マーケットメーカー (AMM) は、顧客が USDC や ETH などのオンチェーン資産間で取引できるようにする分散型取引所の一種です。 Uniswap は、Ethereum 上で最も人気のある AMM です。ほとんどの資産管理システムと同様に、Uniswap は 2 つの資産の準備金を保有することで、特定の資産ペア間の取引を容易にします。準備金の規模に基づいて相互に取引する価格を決定し、価格をより広範な市場と一致させます。

資産プールのペアに参加する意思のある人は、流動性プロバイダー、略して LP と呼ばれます。これらの人々は、両方の準備資産に同時に資産を拠出します。手数料の一部を受け取る代わりに、取引リスクの一部を負担することになります。

1.2 問題の設定

資産プールは、価格がランダムに変化するステーブルコインとリスク資産間の流動性を提供し、また、プールに入るすべての取引が情報に基づいているという特に残酷な仮定も立てています（裁定取引は、AMM 価格と通常の取引価格の間に偏差がある場合にのみ発生します）。

言い換えれば、各取引の後にプール全体が損失を被ることになります。

1.3 伝統的な考え方

一見すると、この文脈では Uniswap LP になることはコストのかかる間違いのように思われます。

マーケットメーカーは買付価格が売付価格よりも低く設定されていることを要求するため、資産価格が変動せず、受け取る買付量と売付量がほぼ均衡している場合に直接利益を得ることができます。これらの取引は短期的な価格変動に結びついていないため、「情報に基づかない」取引と呼ばれることがよくあります。

一方、マーケットメーカーは、資産の価格が下がる前に購入したり、価格が上がる前に売却したりすることで損失を被ります。したがって、マーケットメーカーにとって最も恐れられている取引相手の一つは、価格が変動した場合にのみ取引を行い、マーケットメーカーを置き去りにする裁定取引業者です。裁定取引業者が実行するすべての取引は、裁定取引業者にとっては純粋な利益であり、マーケットメーカーにとっては純粋な損失です。

私たちの Uniswap の問題設定では情報に基づかない取引は存在しないため (実際、すべての取引は裁定取引であると想定しています)、LP は明らかに非常に大きな損失を被ることになります。

1.4 課題

しかし、ダンとチャーリーは物語がそこで終わるとは思っていません。

彼らは、特定の根本的な価格動向を考えると、Uniswap LP であることは依然として意味があると考えています。

彼らは数理ファイナンスの伝説的人物であるスティーブン・シュリーブに問題を提示し、それをTwitterで発表しました。そしてマーティン・タッシーと私は独立して部分的な解決策を考え出し、その後協力して完全な解決策を一般的なケースに拡張しました。

その後数週間にわたって、私たち 4 人は Telegram で時間をかけて結果について話し合い、バグを探し、直感を養いました。この議論がこの投稿の基礎となっています。

2. 解決策

資産のボラティリティが平均収益に比べて十分に高い場合、すべての取引が裁定取引であっても、時間の経過とともに Uniswap の LP は HODLer を上回るパフォーマンスを発揮します。

これは、「ボラティリティハーベスティング」と呼ばれる現象によるものです。特定の条件下では、2 つの資産を定期的に再調整することで、静的なポートフォリオを上回るパフォーマンスを実現できます。この文脈では、「リバランス」とは、各資産に保持されているポートフォリオの合計価値の割合を 50/50 などの固定構成に戻す取引を行うことを意味します。

したがって、LP が裁定取引を行う場合、基本的にポートフォリオの再調整のために市場に手数料を支払うことになります。この特定の数学的コンテキストでは、この再バランス調整が有益な場合は、可能な限りそれを実行する必要があります。つまり、流動性プロバイダーは手数料をゼロにすることなく、可能な限り低く設定する必要があります。

これは Uniswap にとって朗報です。なぜなら、裁定取引が主流の世界でも手数料を低く抑えることができるため、オンチェーンの注文帳が拡大し、より狭いスプレッドを提供し始めても、Uniswap は競争力を維持できるからです。

とはいえ、これらの結果は、関連する仮定がブラック・ショールズ・オプション価格設定モデルの仮定と非常によく似ている、非常に特殊な様式化された数学的設定に当てはまることを繰り返し述べる価値はある。数学的な便宜上、Uniswap の運用で使用されているものとは異なる料金体系も想定します。

2.1 比較基準

私たちは、さまざまな戦略を、長期にわたって価値がどれだけ早く増加するか（または失われるか）を測定する増分資産成長率を比較することによって評価します。

この量は重要です。なぜなら、時間をかけて最適化する戦略は、ほとんど不確実な戦略よりもパフォーマンスが優れているからです。

私たちは、価値の半分がステーブルコインにあり、残りの半分が決して変化しないリスク資産にある「アンバランスなポートフォリオ」とすべての戦略を比較します。これは、AMM におけるいわゆる「一時的損失」を測定するためのコミュニティ標準でもあります。

何が起こっても、アンバランスポートフォリオには常に同じ量のステーブルコインが保持されます。つまり、最悪のシナリオでは、リスク資産の価値がすべて失われると、アンバランスポートフォリオはほぼ完全にステーブルコインで構成され、長期的には成長率がゼロになります。

一方、リスク資産が急激に増加すると、そのリスク資産はすぐにアンバランスなポートフォリオの支配的存在となり、リスク資産と同じ割合で増加することになります。

驚くべきことに、2 つのポートフォリオは同じ増分資産成長率を共有しているにもかかわらず、近い距離ではパフォーマンスが大きく異なる場合があります。たとえば、リスク資産の成長率がゼロの場合、手数料ゼロの Uniswap の株式の価値は常にアンバランスなポートフォリオよりも低くなりますが、どちらも時間の経過とともに複利で成長したり損失が発生したりすることは予想されないため、両方の資産成長率はゼロになります。

2.2 ボラティリティ・ドラッグ

50% 損失/75% 利益時のボラティリティ耐性 (出典)。

これらの結果を理解するには、まずボラティリティ・ドラッグの概念を理解することが重要です。リスク資産の価格が毎年 50% 下落するか 75% 上昇し、両方の発生確率が等しいと仮定します。

どの年でも、この資産に 100 ドルを投資すると、期待値は (50+175)/2 = 112.5 ドルになります。単に購入して保有するだけでは、ポートフォリオの期待値は前年比 12.5% 増加するため、これは良い取引のように思えます。

残念ながら、現実の世界では、私たちの利益は実現しません。この証券を購入して保有し続けると、最終的にすべてを失うことになります。

これは、時間の経過とともに富が複利で増えていくと、壊滅的な損失につながる可能性があるためです。

ある年に 50% の損失が発生し、次の年に 75% の利益が発生した場合、投資額の 87.5% (50% * 175%) しか残りません。

時間が経つにつれて、大数の法則により、私たちの収益は年間-15%となり、必然的に破産することになります。

2、3 ちょっと待って、何が起こったの？

ギャンブルを期待値の観点から分析するように訓練されている場合、前のセクションは非常に奇妙に、あるいは完全に間違っていると思われる可能性があります。

実際、1 週間ちょっと前に、この問題に対する完全な閉じた形式の数学的解が得られましたが、それまでは、それが直感的に何を意味するのか全く分かりませんでした。

本質的には、期待値とは、無数の並行宇宙で同時に特定のゲームを複製した場合に何が起こるかを測定する理論的な量です。

しかし、現実はそうではありません。ギャンブルごとにチャンスは 1 回だけであり、ギャンブルの影響は瞬時に現れるのではなく、時間の経過とともに増大します。

数学的に整合性を保つために、別の角度から見ることができます。（-50% / + 75%）ゲームを何度も繰り返し、そのたびに資金を再投資すると、正しいパスはごく一部になり、天文学的な利益が得られます。

時間が経つにつれて、これらの道はすべての可能な道のうちのますます小さな割合になり、そのうちの 1 つが実際に実現するのを見る可能性はゼロに縮小します。

2.4 リバランスの価値

ボラティリティ耐性を考慮すると、期待値がプラスの場合でも、いくらかの資金を確保しておく必要があります。そうすれば、物事がうまくいかなかったときに失うものが少なくなり、長期的には複利で富を増やすことができます。

これらすべては、取引に関して言えば、かなり馴染みのある概念につながります。価格が上昇しているときは、価格が再び下落した場合に備えて利益を確保するために、ポジションの一部をクローズすることがあります。価格が下落した場合、有利な価格で将来の期待収益を得るために、安値で買うことが理にかなっている場合があります。

このような場合、最適な戦略は、ポートフォリオを継続的に再調整して、資産の半分をステーブルコインに、残りの半分をリスク資産に投資するなど、各ポジションに常に一定の割合の資産を投資することです。これは必ずしも最適なバランスではなく、一般的にはポートフォリオ内のリスクの高い資産が増えるほど、そのボラティリティに対するリターンが高くなることが望まれますが、これについてのさらなる調査は今後の研究に委ねます。

長期的な資産増加のためのリバランスのメリットは非常に大きく、資産の急激な増加と破産の違いを意味する可能性があります。これは、すべてのリバランス取引が不利な価格設定となり、即時の損失につながる当社の設定のコンテキストでも当てはまります。

2.5 リソース

おそらく、これらの説明に満足せず、もっと詳しく知りたいと思うでしょう。

まず、これらの原則に基づいた理論的に最適な賭け戦略であるケリー基準を確認することから始めることができます。ケリー基準の歴史と意味について書かれた、評価が高く読みやすい本が、@wpoundstone 著の「The Wealth Formula」です。

一方、富の増加に関する数学をさらに深く掘り下げたい場合は、@ole_b_peters のエルゴード経済学に関する講義ノートや Nature の記事を強くお勧めします。

自分で調査を行う場合は注意してください。これはあまり理解されていない分野であり、私自身の調査中に、多くの情報源に誤りがあり、理解が数時間または数日遅れていることがわかりました。

特に、平均回帰や対数効用関数を求めている人がいたら、それにこだわらず先に進むことをお勧めします。この分野における主要な結果を得るには、特定の報酬分布や効用関数を想定する必要はありません。

2. 6コストの錬金術

この設定では、LP になることが有益なのはいつでしょうか。また、最小限のコストでリバランスを容易にするために、LP はできるだけ頻繁にリバランスを行うべきでしょうか。

（手数料は可能な限り低く抑えるべきだが、ゼロにはならない。そうすれば、リバランスはますます小さな価格変動によってトリガーされる。ダン・ロビンソンはこれを「量子バブルで小銭を拾う」ことと呼んでいる。）

しかし、手数料がまったくゼロになると、リバランスのメリットがすべてなくなり、ほとんどの場合、LP は単にアンバランスなポートフォリオを保有していた場合よりも不利な立場に陥ります。

この一見異常な現象を理解することで、問題の残りの部分を解明するのに役立ちます。

Uniswap は「定数積」不変式を使用します。つまり、手数料を請求するには、すべての取引で準備金残高の積を一定に保つ必要があります。これを次のように表現します

ただし、Uniswap に精通している読者は、x*y = k と記述する方が慣れているかもしれません。

しかし、リバランスを達成するには、余剰資産の増加をもたらすためにこの商品 C の数を増やす必要があることが判明しました。

C はなぜそれほど重要なのでしょうか?私たちは言う

これは、当社の準備金残高 Ra と Rb の幾何平均です。算術平均と同様に、幾何平均も準備金の量が増加するにつれて増加します。しかし、算術平均とは異なり、算術平均が一定であっても、準備金の不均衡によって幾何平均は縮小します。

手数料がない場合、C は一定であるため、トランザクションによって常に準備金が大きく、または準備金のバランスが取れたものになります。これら 2 つは同時に存在することはないため、富を増やすインセンティブはありません。

ただし、現実世界の Uniswap、つまり私たちの設定では、手数料がゼロでない場合、トランザクションごとに C が増加することが保証されます。これは、時間が経つにつれて準備金が増加するだけでなく、バランスが保たれることを意味し、上記の利点がもたらされます。

これがどのように計算されるかの正確な数学的説明については、Martin のセクション 3.1 と私の証明論文を参照してください。

3. 数学

以上のことを踏まえて、チャーリーの当初の問題提起で提起された質問に正確に答えることができるようになりました。

繰り返しになりますが、彼らはユニスワップ型AMMの富の成長率Gに焦点を当てています。

ステーブルコインとボラティリティの高い資産（パラメータによる幾何ブラウン運動で変動する）に影響を与える

ドリフトと

市場間の価格変動（ボラティリティ）

3.1 LP資産成長率

3.2 最適な手数料と超過収益

LP として、ステーブルコインとリスク資産を半分ずつ保有した場合のリターンが、単純にコインを保有した場合のリターンを上回るのは、次の場合のみです。

この場合、LPは手数料を可能な限り低く設定する必要がありますが、ゼロにはしないでください。そうすれば、資産成長率は

3.3 説明

幾何ブラウン運動は複利成長をシミュレートするため、ボラティリティ・ドラッグの影響を受ける。これは数学的には次のように表される。

富の成長率は次のようになります。

これは、

この範囲では、Uniswap LPになることはより

HODL 成長率の方が意味があります。

これにより、結果をどのように観察するかについての視点が得られます。リバランスにより、原資産のボラティリティの逆風を部分的に相殺できます。ボラティリティ耐性がなく、平均リターンがゼロまたはマイナスの場合、リバランスの量は役に立ちません。ポートフォリオのバランス調整は資産そのものを保有するよりも良い結果をもたらしますが、ステーブルコインを保有するだけのほうがまだ良い結果をもたらします。

一方、ボラティリティ耐性がない場合、平均リターンはプラスになります。

ボラティリティ抵抗によって資産が平均対数リターンの 200% 以上を失った場合、Uniswap でリバランスしても抵抗を十分に除去できず、ステーブルコインを保有する方が得策です。
ボラティリティの引き下げにより資産が平均対数収益の 66% 未満しか失わない場合は、Uniswap でリバランスする価値はなく、資産をそのまま保持する方が得策です。
その範囲内で、Uniswap LP になることで、最終的には裕福になれます。実際、ステーブルコインと変動性の高い資産の不均衡なポートフォリオを保有するよりも裕福になります。これには、最終的に価値がなくなる資産と、急激な成長を経験する資産の両方が含まれます。

3.4 証明

完全な証明のプレプリントはここにあります。これは、離散ランダムウォークのダイナミクスをモデル化し、ステップサイズをゼロに縮小するときに動作の制限を取ることによって機能します。

また、ゼロ対数ドリフトのケースに関する私のオリジナルの証明を確認し、ここで問題のシミュレーションを行うこともできます。

3.5 これらの調査結果をどの程度信頼すべきでしょうか?

私の個人的な意見では、これは非常に信頼できると思います。

ドメインが重複しているときに同じ結果を生成する 2 つの独立した証明があります。私たちの予測を検証するためのシミュレーションもいくつかあります。

シミュレーションおよび予測された富の成長率（出典）。

それでも、これは非常に混乱を招く分野であり、過去数週間にわたって私の理解は何度も変化しました。バグを発見した場合は、お気軽にご連絡ください。

IV.今後の仕事

これらの調査結果が理論的には興味深い（または気が狂いそうになる）ものであることに同意していただければ幸いですが、現実世界での関連性を判断するにはまだ多くの作業が必要です。

たとえば、私たちの仮定の多くは、次のように修正または拡張できます。

これらの結果は、マルチアセットのケース、または Balancer のように LP が 50/50 以外の比率でリバランスを選択できる場合にはどのように反映されるのでしょうか?
単位時間あたりの無制限のトランザクションを許可しなくなったらどうなるでしょうか?
優先ガスオークションの動向を反映して変動する可能性のある取引コストを導入すると何が起こるでしょうか?

経験的な疑問もいくつかあります。