ファイルコインと自然定数 e

[警告: 数学、確率と分布]

e は自然定数と呼ばれます。数学者の目には、この定数は非常に自然です。しかし、一般の人にとっては比喩的な説明がないので理解しにくいです。この記事では、Filecoin での e の応用を通じて、1) Filecoin の設計のいくつかを理解するのに役立ついくつかのポイントを見つけたいと考えています。 2) Filecoin を通じて e の比喩的な説明と印象を取得します。

一般的で複雑かつ興味深い数学定数が 2 つあります。1 つは π で、もう 1 つは e です。 π は、円周と直径の比である「パイ」という非常に鮮明な名前を持っているため、誰もがよく知っています。とても鮮明でとても分かりやすいです。小学校で習わなかったら中学校で習います。

実際、e は π と同じくらい重要な数学定数であり、数学では π と同じくらいよく使われます。例えば、今日議論しているFilecoinブロックチェーンでは、eは多くの場所で使用されていますが、πは使用されておらず、基本的に使用されていません。

しかし実際には、e と π は数学において非常に密接な関係があります。 e は π を表現する別の方法であるとも言えます。なぜ？最もエレガントな数式であるオイラーの公式を見てみましょう。

なぜエレガントなのでしょうか?この単純な式は、数学の 5 つの要素 (0、1、i、π、e) を非常に単純な方法で統合します。物理学者が力場を統一することを望むのと同じように、数学者も単純な法則を要約することに執着しています。

この式は、e と π の間の単純かつ直接的な関係も表しています。もちろん、それらの間には次のような興味深い関係があります。

しかし、これらは事態をさらに複雑にし、e 自体の理解には役立たないようです。 e とは何でしょうか?数学では、e は自然対数の底であることが知られています。その主な特徴の 1 つは、e^x の導関数も e^x であることです。同時に、e は次の式で表され、計算されます。

もっとわかりやすく表現すると、複利の計算において、e は一定期間で 2 倍になる利率を表し、極端に連続した複利計算を行うことで到達できる限界値です。つまり、年利が100％の場合、1年間をn期間に無限に分割すると、各期間の金利は1/nとなり、元金と利息を含めて最終的に得られる収入はe倍、つまり2.7倍強になります。

これではまだ十分鮮明ではないので、Filecoin にマッピングされたコンセンサス メカニズムを見てみましょう。

まず、Filecoin のホワイト ペーパーに記載されている予想されるコンセンサスを確認しましょう。 go-filecoin の初期の実装では、単純な期待コンセンサスが採用されました。つまり、各マイナーがブロックを生成する権利を取得する確率は、各マイナー自身の計算能力と全体の計算能力の比率によって決定されました。すべてのマイナーの計算能力の合計は合計計算能力に等しいため、システムの各ラウンドの合計ブロック確率の期待値は 1 です。簡単に言えば、平均して各ラウンドで 1 つのブロックが生成されますが、各マイナーは独立して計算するため、各ラウンドで生成されるブロックの数は異なる場合があります。

したがって、この場合は、演繹を実行するための単純な（そして効果的な）モデルを構築します。システム内のマイナーの数が n で、各マイナーの計算能力が 1/n であると仮定すると、各マイナーが各ラウンドでブロックを生成する確率は 1/n になります。

このように、ラウンドで空のブロックが出現する確率は次のようになります。

n が十分に大きい場合、次の式が得られます。

つまり、白紙のラウンドの確率は 3 分の 1 以上となり、高すぎることになります。

では、1 つのブロックが生成される確率はどれくらいでしょうか?次のように簡単に計算できます。

まだ3分の1強です。残りの3分の1未満の確率は複数ラウンドです。この結論は、当時開発ネットワークによって実施されたテストと完全に一致しています。

ここから、自然定数 e のより鮮明な説明が見つかりました。それは、多数の人 (多数) が参加する独立投票選挙では、全員が選挙に勝つ確率が同じで、選挙に勝つ人の予想数が 1 である場合、選挙結果が得られない確率は e の逆数、つまり 1/e である、というものです。

開発ネットワーク上の空ブロック率が高すぎる状況をシミュレーションし、Filecoin 研究開発チームと議論しました。明らかに、ブロック時間は固定されておらず、トランザクション時間を予測することは難しいため、空のブロックラウンドの比率がこれほど高いのは好ましくありません。

では、単純な変更とは何でしょうか?つまり、ラウンドあたりのブロックの予想数を増やすことです。 1 回のコンセンサスラウンドで複数のブロックが出現することが予想され、実装ではそれらを組み合わせるためにチップセットが使用されるため、設計と実装の面で予想されるブロック数を増やすことは非常に簡単です。

テストネットの前に、Filecoin 実装では、ラウンドあたりのブロックの予想数の概念が導入され、これは E (ExpectedBlocksPerEpoch) として定義されました。現在のデフォルト: E = 5

予想されるブロック数が増加したため、最も簡単な方法は、各マイナーがブロックを生成する確率を 5 倍に増やすことです。ただし、マイナーはサイコロを振ってブロックを計算します。つまり、256 ビットの空間で数値を生成し、自分の計算能力のシェアを比較して、ブロックを生成する権利があるかどうかを決定します。ここでは範囲外のデータの問題があります。この判断では、Filecoin の実装は 3 つの段階を経ています。

フェーズ 1: 各マイナーは自身の計算能力に応じてハッシュレートを分割し、各マイナーはより少ない割合で選挙に参加します。鉱夫が選挙に勝った場合、鉱夫は 1 票を獲得します。同じデフォルトの計算能力が 25 セクターごとに均等に分割されます (残りは個別に計算されます)。この方法の利点は、各有権者の計算能力が基本的に同じであるため、公正な選挙を実施できることです。ただし、25 セクターごとに個別に計算する必要があるため、各部分に I/O アクセスが必要になり、時間がかかります。 Filecoin チームの当初の意図は、ブロック生成権と空間および時間の証明を組み合わせることでした。しかし、最終的には、安全性の観点から、計算が比較的複雑であったため断念しました。

ステージ 2: 極端な単純化を直接行い、範囲外の問題を無視して、比較と計算のために直接 5 を掛けます。これは、空間時間証明で SurprisedPoSt が WindowedPoSt に置き換えられた場合の簡略化策です。しかし、これを行うと 2 つの問題があります。1) 計算能力が 20% を超えるマイナーは確実に損失を被ります。 2) マイナーの計算能力が十分に高ければ、そのマイナーは確実に選挙に勝つでしょう。この2番目の問題はさらに深刻です。これはセキュリティ上の問題であり、修正する必要があることを強く指摘します。

フェーズ 3: Algorand が使用するアルゴリズムを利用して、暗号化宝くじを使用します。徐々に完璧に向かって進んでいます。

Algorand の暗号化宝くじは、選挙における確率分布の非常に優れた応用であり、ブロックチェーン POS ネットワークに最適です。実装は比較的簡単で直接的です。具体的なアルゴリズムは次のとおりです。

ここでは詳しく説明しません。必要な方は関連情報を調べてください。簡単に言えば、POS 選挙プロセス中に、生成した検証可能な乱数に基づいてくじを引くときに、自分のシェアと対応する二項分布を使用して、自分がどの区間に該当するかを確認し、受け取った票数を判断できます。

二項分布は、同じ確率の n 個の独立した回が別々に計算され、それらが合計され、分布全体が確率空間全体を分割する分布です。したがって、検証可能な乱数がどの空間にあるかを確認するだけで済みます (この部分は明確に説明するのが難しいため、興味のある方はオフラインで議論してください)。

したがって、Filecoin の場合、選挙に参加するシェアはあなたの計算能力になります。上記のステージ 2 の方法に従ってさらに細分化すると、バイトごとに投票することを検討できます。このように、投票に参加する有権者の数は非常に多く、計算全体に二項分布を使用する必要はなく、ポアソン分布を使用して計算することができます。ポアソン分布の計算式は次のとおりです。

ここで、λ は、ある人の得票率と予想される選挙人総投票数の積です。ファイルコインでは、

E * mPow/totPow; kは取得した議決権の数です。

上記の式を見てください。すごいと思いませんか?自然定数 e は、Filecoin の選択の計算で再び使用されます。計算にポアソン分布を使用するのは Filecoin の改良であり、Filecoin の特性と非常に一致しており、計算も非常に簡単です。

パスワード抽選を採用した後は、マイナーが毎ラウンドブロックを生成する権利を得られるという保証はありません。これは、全員が自分でサイコロを振って、ブロックを生成する権利の計算が独立しているため、正常な動作です。この場合、各ラウンドで異なるブロック生成投票に勝つ実際の確率はどれくらいでしょうか?簡単なシミュレーションでは次の表が生成されます。

ここでの空白ラウンドの確率は e^-5 です。

つまり、200 未満の高さで空のラウンドが出現すると予想されます。大丈夫そうですね。各ラウンドの投票数は 3、4、5、6、7 であり、これがより一般的で、より均等に分配されます。得票数は15票と多い場合が多く、1万人あたり約1.6票です。

これを見ると（ここまで読む忍耐力があれば）、e は確率とより大きな関係があるのではないかと疑問に思うかもしれません。実際、π は確率計算にも使用されることがあります。なぜなら、これら 2 つの定数は密接に関連しているからです。

選挙における自然定数 e の使用は、今では非常に自然でエレガントなものに思えます。

同時に、Filecoin はトークンをリリースする際の計算にも e を使用します。これは確率とは関係なく、減衰と関係があります。 Filecoin はトークンをリリースするために定期的な半減期を使用せず、代わりに指数関数的減少である放射性崩壊を模倣します。ホワイトペーパーでは、6年ごとに半減することを計画しています。一般的に言えば、減衰式は次のように表すことができます。

上記の式は、初期トークンが N0 であり、時間が経過するにつれてシステムがそれを解放し、時点 t でシステムに保持されるべきトークン量 N(t) の計算式が使用されると理解できます。

ここで、自然定数 e が再び現れます。もちろん、ここで必ずしも e を使用する必要はありません。しかし、eは広く使われているので便利で使いやすいです。つまり、基本的にこれは統一された使用法です。