ブロックサイズ制限のない取引手数料市場

ブロックサイズ制限のない取引手数料市場

まとめ。この論文では、ブロック サイズの制限がない場合に、新しいブロックを構築するときに利益を最大化するために、合理的な Bitcoin マイナーがノードのメモリ プールからトランザクションを選択する方法について説明します。説明のために、この論文ではブロックスペース供給曲線とメモリプール需要曲線を紹介します。前者は、孤立ブロックのリスクを考慮した上で、マイナーにブロックスペースを供給するコストを表します。後者は、メモリ プール内のトランザクションによって提供される利点を示し、比較によって、対応する利点を得るためにパッケージ化する必要がある最小ブロック サイズを計算します。この記事では、伝統的な経済学における需要と供給の曲線がこれら 2 つの曲線の導関数とどのように関連しているかを説明し、それらの交点がマイナーの利益を最大化するブロック空間の生成量を示すことを証明しています。記事はさらに、不健全な手数料市場（採掘者が恣意的に大きなブロックを生成するよう動機付けられる市場）について説明しているが、これは極めて高速な情報通信を必要とするため存在し得ない。この論文は、合理的なマイナーが大きなブロック、小さなブロック、または空のブロックを生成する条件を考慮し、スパム攻撃のコストを推定して結論付けています。

キーワード

1. ビットコイン 2. ブロックサイズ制限 3. 取引手数料市場 4. ブロックチェーンスパム攻撃

1.はじめに

ビットコイン プロトコルにおいて、変更するかどうかが議論されている最も差し迫ったルールの 1 つは、ブロック サイズの制限です。このルールは、ネットワークのトランザクション容量、つまりネットワークが 1 秒あたりに確認できるトランザクションの数に上限を設定します。その起源は、2010 年の夏の終わりにまで遡ります。当時、サトシ・ナカモトは、誕生したばかりのビットコイン ネットワークへのスパム攻撃の可能性を懸念し、ブロックチェーンに追加できる新しいブロックの最大サイズを設定するためにソース^{コード 1 を}変更しました。この上限は 1 メガバイトに設定されており、これは 1 秒あたりおよそ 3 件のトランザクションに相当します。これは Visa の取引能力と比較すると非常に小さいものですが、 ²当時実際に必要とされていた量の 800 倍以上であり、 ³サトシは、この制限は将来必要に応じて引き上げられる可能性があると述べました。

2015 年 7 月 8 日から 7 月 15 日の間に、^{処理すべき 60,000 件を超えるトランザクションが未処理}のまま残っていました5。ブロックの容量は^飽和状態に近づいており6、ユーザーエクスペリエンスは^{低下しています}7。本稿執筆時点では、トランザクション頻度はブロック サイズ制限が導入されたときの 300 倍を超えており^、スケーリングが深刻な問題となっています。しかし、ネットワークがより大きなブロックをサポートできるかどうかについては疑問が提起されています。特に懸念されるのは、ブロック サイズの制限なしに健全な手数料市場を確立できるかどうか、またはブロック サイズがトランザクションの需要よりもはるかに大きい場合、トランザクションを公開するためにユーザーが全額の手数料を支払う必要があるかどうかです。 （健全な手数料取引市場は第 7 項で定義されています）。健全な手数料市場を確立できない場合、ユーザーがスパム攻撃を仕掛ける動機となり、ネットワーク維持コストが劇的に上昇したり、制御不能になったりする「コモンズの悲劇」につながるのではないかと懸念しています。この記事の目的は、プロトコルのルールではなくマイナーがブロック サイズを制限する場合に、手数料市場が出現する可能性があるかどうかを議論することです。

この点に関しては、多くの人が努力を重ねてきました。 Houy 氏は、マイナーがブロックにトランザクションを追加する際の限界費用がゼロであれば、マイナーは「トランザクションに付随するトランザクション手数料に関係なく、すべてのトランザクションをブロックに含める」と述べた。彼は、最低取引手数料を設定するか、ブロックサイズを制限することが必要だと考えています。 ⁹しかし、アンドレセンは、孤児になるリスクが増大するため限界費用はゼロではないと説明した。合理的なマイナーは、トランザクション手数料が孤立化の追加リスクを補うのに十分であるように、一定額のトランザクション手数料を含むトランザクションのみをパッケージ化する必要があります。 ^10Houyの研究に基づいて、Andresenの孤立ブロック係数を考慮に入れ、マイナーは基本的にトランザクション手数料を無視せず、すべてのトランザクションをパッケージ化することを証明しました。実際、ブロック サイズがプロトコルによって制約されていない場合 (この仮定はセクション 10 で明示的に述べられていますが)、健全な取引市場は合理的なマイナーの行動の結果として期待されます。

第 3 章では、孤立ブロックのリスクを考慮したマイナーの利益方程式、つまりブロックあたりのマイナーの利益を計算するためのシンプルなモデルを導出します。次に、セクション 4 と 5 で、それぞれメモリ プール需要曲線とブロック スペース供給曲線と呼ばれる 2 つの新しい概念を紹介します。ノード メモリ プール内のトランザクションから需要曲線がどのように構築されるかを推測しました。同時に、マイナーの利益をブロック サイズで微分し、結果をゼロに設定し、その後の微分方程式を解いて供給曲線を取得します。ブロックスペースを供給するコストは、ブロックのサイズに応じて指数関数的に増加することがわかります。供給曲線は、一定量のブロックスペースを生成するためにマイナーが負担するコストを指定するため、説明に役立ちます。需要曲線も導入する理由の 1 つは、それがマイナーが特定のサイズのブロックを生成するために受け取ることができる最大手数料を反映するためです。

セクション 6 では、2 つの曲線を使用して、マイナーの利益を最大化するブロック サイズを視覚的に表現します。また、これら 2 つの曲線が、経済学でよりよく知られている需要曲線と供給曲線とどのように関連しているかについても説明しました。第 7 章では、不健全な手数料市場 (マイナーが任意の大きさのブロックを生成するようにインセンティブを与えられる市場) は不可能であることを示しました。非常に高いビットレートのチャネルを介して情報を通信する必要があるため、シャノン・ハートレーの^定理11に違反します。この結果は、ブロック ブロードキャストが完全なブロックとして配信されるか、圧縮されたブロックとして配信されるか (たとえば、可逆ブルーム ルックアップ テーブルを使用) に関係なく適用されます。第8章では、取引手数料市場についてさらに詳しく検討します。最後に、セクション 9 では、スパム攻撃のコストを見積もります。まず、使用するシンボルを定義することから始めましょう。

2.シンボルリスト

このドキュメントの残りの部分では、次の記号が指定された意味を持ちます。

3.マイナーの利益方程式と孤立ブロックの影響

ブロックを採掘することで、マイナーはブロックごとのハッシュコスト〈C〉で利益を得て、収益〈V〉を生み出すことを期待しています。

マイナーの計算前コストは、ハードウェアによって計算されたハッシュあたりの償却価格^12η 、計算能力 ℎ、およびブロックで作業すると予想される時間の長さ (通常はブロック時間 T) に等しくなります。これは次の式で表されます。

マイナーの予想収入は、採掘されたブロックの量に、そのブロックを採掘する確率を掛け合わせた値に等しくなります。彼が得る金額は、ブロック報酬 R と取引手数料 M の合計です。すべてのブロックが即座にブロードキャストされると仮定すると、彼の勝利の確率は、彼のハッシュ レート (ℎ) とビットコイン ネットワークの合計ハッシュ レート (H) の比率に等しくなります。すべてをまとめると、彼の期待収入は〈V​​〉 = (R+M)h/Hとなります。

この式の問題は、マイナーがブロックを他のマイナーにブロードキャストする速度によって、マイナーがブロックを正常にマイニングする確率が減少するという事実を反映していないことです。たとえ彼が有効なブロックを見つけた最初のマイナーであったとしても、ほとんどのマイナーが別のブロックに取り組んだ後に彼のブロックが受信された場合、彼のブロックは破棄される可能性が高くなります。この効果は「孤立化」と呼ばれます。

追加手数料のメリットがリスクの増加を相殺するのに十分でない場合、低手数料取引の魅力は失われます。この影響を考慮すると、孤立ブロックのリスクにより、マイナーの予想収入方程式は大幅に割引されます。 ℙ _orphanを考慮すると、式は次のようになります。

直感的には、伝播時間が短ければ、孤立化の可能性は低くなるはずです。伝播時間が長い場合は、高くする必要があります。ブロック時間がポアソン分布に従うという事実に基づいて、Andresen は孤立化の確率をおよそ¹⁰としています。

ここで、τはブロック伝播にかかる時間です。図 1 はこの効果を視覚的に示しています。 τ は、マイナーがブロックをマイニングしてから、そのブロックが他のノードにブロードキャストされて受け入れられるまでの合計時間を指すことを強調する必要があります。 ¹³

式(2-4)を式(1)に代入すると、マイナーの利益の式は次のようになります。

合理的なマイナーは、利益の期待値が最大化されるように、ブロック上のトランザクションを選択します。彼がどのように選択を行うかをよりよく理解するために、メモリ プールの需要曲線とブロック スペースの供給曲線の概念を紹介します。

4.メモリプール需要曲線

メモリ プールは、マイナーが認識しているが、まだブロックに追加されていない有効なトランザクションのコレクションです。このセットを Ν と表記します。このセットに含まれるトランザクションの数は n です。ブロックサイズの制限がなければ、マイナーはNからb≤nのトランザクションを自由に選択して、新しいブロックℬ⊂Nを作成できます。

メモリプールの需要曲線を構築するには、まず、手数料密度（つまり、トランザクション手数料をトランザクションのバイト数で割ってバイトあたりの手数料を算出）が最大から最小の値まで並べ替え、それをリスト {i: 1,2,…,n−1,n} に並べることを想像します。図 2 に示すように、三角形はトランザクションを表し、三角形の高さはトランザクション手数料を表し、三角形の幅はサイズ (バイト単位) を表し、三角形の傾きは手数料密度を表します。

図3に示すように、曲線は図2の三角形を隅から隅まで積み重ねることで描かれます。曲線上の点は、特定のブロックスペースサイズを生成することでマイナーが獲得できる最大手数料を表します。このメモリ プール需要曲線は、多次元選択問題を 1 次元選択問題に簡略化するのに役立ちます。

5.ブロック空間供給曲線

マイナーが生成することを選択したブロック サイズによって、マイナーが受け取ることができるトランザクション手数料 M(Q) と、マイナーが負うことを選択した伝播時間リスクが決まります。これらの変数はすべて彼の利益の期待値に影響します。

より詳細な研究のために、マイナーが空のブロックをマイニングすることで得る利益（または損失）を中立利益と定義します。_マイナーの利益（式5参照）がブロックサイズに関係なく一定であることを条件として、曲線上のすべての点が中立利益を返すM平面上の手数料曲線M_供給（Q）を構築できます。

式（6）は常微分方程式であり、付録で説明する。

で

。これをブロックスペース供給曲線と呼びます。これは、マイナーが追加のブロックスペースを供給するために補償する必要があるコストを表します (図 4)。これらのコストは伝播時間とともに指数関数的に増加します。ブロックが MQ 曲線より上の座標で構成されている場合、マイナーは余剰を持ちます。そうでなければ、資金が不足し、空のブロックを採掘したほうが得策です。次にこれについて考えてみましょう。この曲線とメモリ プールの需要曲線をどのように使用して利益を最大化できるか。

6.マイナーの利益を最大化する

利益を最大化するために、マイナーはメモリプールで保留中の実際のトランザクションからメモリプール需要曲線を構築し、ブロック伝播待ち時間とブロックサイズ（ と推定）に関する経験的データからブロックスペース供給曲線を構築します。最大ブロックサイズQ ^∗は最大利益点、つまりマイナーの余剰M_需要−M_供給が最大となる点を表します（図5a）。これは合理的なマイナーが作成すべきブロック サイズです。

もう少し作業すれば、従来の経済学に似た需要と供給の曲線を描くことができます。 ¹⁴従来の供給曲線は、与えられた生産レベルQにおける商品の単価を表します。しかし、これまでの分析では、ブロック全体の価格を考慮してきました。 Qの導関数を取ると、マイナーが一定量のブロックスペースを生成するために必要なバイトあたりの価格が得られます^。15

M_需要と Q 需要を微分することで、従来の需要曲線に似たグラフを描くことができます。

図5(b)に示すように、マイナーの利益が最大化されると、ブロックサイズQ ^∗は

我々はできる

微分曲線として、 M_供給とM_需要を積分曲線として表します。どちらも便利です。これらの結果を念頭に置いて、健全な手数料市場が形成される条件を考えてみましょう。

7.医療費市場の状況

ビットコイン手数料市場については、健全、不健全、存在しないという 3 つの市場状況を考慮しました。健全な手数料市場では、ブロックスペースの量が限られている場合でも、マイナーの収益は最​​大化されます (図 6a)。不健全な市場では、マイナーの収益はブロックスペースとともに増加するため、合理的なマイナーは任意に大きなブロックを生成するはずです (図 6b)。市場が存在しない場合には、トランザクションを追加するとマイナーは赤字を計上するため、マイナーは空のブロックを生成する方が得策です。 （図6c）。

ブロックスペースが、現行の市場の法則に従う通常の商品であると仮定すると（つまり、バイトあたりの価格が下がるとブロックスペースが増加する）、各タイプの市場に対してより詳細な定義条件を与えることができます。これを証明することはできませんが、簡単な計算で、各タイプの市場に対応するブロック供給曲線と放送時間の表が得られます（表1）。

表 1 に示すように、ブロックの漸近的増加とともに増加するブロックブロードキャスト時間が log Qよりも遅く増加すると、不健全な手数料市場が形成されます。現実世界の証拠を用いて、これが不可能であることを示すことができます。次に、べき乗指数

Q=0 を代入して展開すると、次のようになります。

最初の用語は通信チャネルの遅​​延を表します。この記事では、チャネルを介してブロック ヘッダーを通信するのにかかる時間を指します。光速の制限により

物理的な下限があります。ここで、 dは情報が送信される距離、 c は光の速度です。

2番目の項は、チャネルの収容能力に部分的に関連しており、シャノン・ハートレーの^定理11で説明されている下限を持ちます。次の設定でこれをより明確に確認できます。

ここで、γ はコーディングゲイン、C はチャネル容量 (1 秒あたりの情報バイト数) です。通信チャネルの伝送容量は次のように制限されます。

ここで、B はチャネルの帯域幅、S は信号電力、 N はチャネルのノイズ電力です。

3番目の項は、 ^Q2の1次導関数と高次導関数をとって得られる項の合計です。実際の実装では、これらの用語は単に現実世界の混乱のために存在するだけです。しかし、著者らはそれらが存在しなければならない物理的な理由を認識していない。この記事の残りの部分では、これらの項は定数項や線形項に比べて無視できると仮定し、近似値を使用します。

この式は、追加の伝播時間が、生成されたブロック サイズを、ブロックを送信できる方式のコーディング ゲインで割り、通信チャネルの有効容量で割った値にほぼ等しいことを示しています。 C も も無限大にはならないので、この項はゼロにはなり得ません。さらに、C はチャネルの物理的特性であり、トランザクション情報がブロック内で圧縮される度合いであるため、C を見つけることや Q との機能的関係をサポートする理由はありません。つまり、ブロック伝播時間がO(Q)よりも漸近的に遅くなる物理的な通信チャネルは存在しないということです。これは健全な手数料市場を実装するために必要なO (log Q ) (R > 0 と仮定) よりも高速であるためです。したがって、不健全な手数料市場は物理的に不可能です。

8.大きなブロック、小さなブロック、空のブロック

分析に数値を使用するには、式で表します。 （８）符号化利得とチャネル容量の観点から（式９参照）

この式は、マイナーがサイズ Q のブロックに別のトランザクションを収益性高く追加するために必要な限界手数料密度を表します。これは図 7 (R/T=25BTC/10 分、つまりプロット) で表され、手数料密度によってマイナーがさまざまなブロック伝播率で大きなブロック、小さなブロック、空のブロックを生成するインセンティブがどのように得られるかを示しています。注目すべき重要な関係は次のとおりです。(1) ブロックスペースに対して入札するトランザクションが増えると、トランザクション手数料が指数関数的に増加します。 （２）ブロードキャストレートが上昇するにつれて、取引手数料が安くなる（ビットコインの場合）。 （３）最小手数料密度に直面した場合、合理的なマイナーは空のブロックを生成します。

料金密度は、ブロック伝播インピーダンスの想定値に敏感です。表 2 は、伝搬インピーダンスの 4 つの異なる推定値と、各推定値に対応する最小コスト密度をまとめたものです。次のセクションでは、これら 4 つの推定値ごとに、128 MB のスパム トランザクションでブロックを埋めるコストを計算します。

9.砂塵攻撃のコスト

ブロックスペース供給曲線は、攻撃者が大量のブロックチェーン スパムを生成するために負担しなければならない最小コストとして解釈できます。攻撃者がマイナーである場合、孤立したブロックを持つことのリスクコストを表します。 (たとえば、1 つ前の「スティック」では、スパム ブロックによりブロック報酬を失う可能性があります)。攻撃者がマイナーでない場合は、合理的なマイナーに大きなブロックをパックさせるために必要な最小手数料を表します。スパム攻撃コスト（式7および9）は次の式に等しくなります。

ブロックに埋め込まれるジャンクトランザクションの数 Q に応じて、コストは指数関数的に増加します。図 8 は、一定数のスパムトランザクションの等高線をプロットしています。これは、攻撃者がブロックに追加のトランザクション データを埋め込むにつれて、スパム攻撃のコストが増加する様子を示しています。ネットワーク接続が増加するにつれてスパムのコストがどのように減少するかについて説明します。表3は、推定されるスパム攻撃コストを示し、第8節で計算された最小料金密度と比較している。式（10）の指数によれば、特に大きなスパム攻撃ブロックを生成するには、攻撃者は最小料金よりも大幅に高い実効料金を支払う必要がある。

興味深いことに、ブロック サイズ制限が導入されたとき (2010 年 9 月 6 日)、ビットコインの 4 週間平均変動価格は 0.068 ドルでした。ブロックチェーン スパム攻撃の 1 ギガバイトあたりのコストは、現在かかる数百万ドルではなく、数千ドルになります。スパム攻撃のコストはビットコインで測定されるため、ビットコインの高い市場価値は効果的なスパム対策となります。

10結論

マイナーが期待利益を最大化するようにトランザクションを追加すると、ブロックサイズ制限のない手数料市場が出現することを示します。この結論を導き出す鍵は、追加のブロックスペースを供給するマイナーへのコストを計算する際に、孤立リスクを考慮することです。当然のことながら、ブロック スペースのコストは、ビットコインのインフレ率 R/T と、圧縮されていない各メガバイト ブロックを他のマイナーに渡すのにかかる時間 1/γC に比例することが示されています。しかし、さらに興味深いのは、孤立コストは静的ではなく、ブロック サイズ、Q、需要に応じて指数関数的に増加することを示しています。

Andresen の観察によれば、 ¹⁰最小手数料密度が存在するだけでなく、合理的なマイナーは最小手数料密度を下回る手数料のトランザクションを追加しないだけでなく、ブロック内のスペース需要が増加すると、必要な手数料密度も自然に増加します。 ²¹実際、合理的なマイナーは、取引手数料に関係なく、すべての取引をランダムにパッケージ化することはありません。なぜなら、より高い手数料の緊急の取引は、必然的に、より低い手数料の取引を排除するからです。最低料金密度は需要に応じて指数関数的に増加します。同様に、スパムトランザクションを含む大きなブロックを生成しようとする攻撃者（その攻撃者がマイナーであろうとユーザーであろうと）は、適度な量のブロックスペースに対して支払うバイトあたりのコストよりもはるかに高い実効手数料密度を支払う必要があります。手数料市場が自然に生まれました。

本論文では、3つの重要な単純化仮定を立てています。(1)孤立ブロックの確率は時間パラメータによって特徴付けられると仮定します。このパラメータは、マイナーがブロックを計算してマイニングした後、ブロックをブロードキャストして、それが他のマイナーに受け入れられるまでにかかる時間です。 （２）第７節から第９節では、この時間パラメータには下限があり、これはブロックの送信に使用されるチャネル容量と圧縮に使用される符号化ゲインによるところが大きい。シャノン・ハートレー理論で説明されている通りです。そして（3）孤立ブロックがあるため、マイナーがトランザクションをブロックにパッケージ化するための時間コストは無視されます。これらの単純化された仮定により、このトピックはさらに研究する価値があります。

（１）他のマイナーに情報をブロードキャストするのにかかる時間は、通常、ネットワーク全体で^一定ではありませんが、メモリプール（トランザクションをパッケージ化するのにかかる時間）はほぼ一定です。これは、計算能力のコストが同じであると仮定すると、ブロックをより速くブロードキャストできるマイナーがより大きな利益を得ることを示唆しています。関連して、最近の証拠は、マイナーが新しいブロックを完全に受け取って検証する前に、そのブロックのマイニングを開始する可能性があることも示唆しています。 ²³これらの現象は現在の分析にどのような影響を与えるでしょうか?

（２）大容量のリレーチャネルに接続され、プールポリシーの標準化に取り組む（ブロック提案の高密度圧縮を促進する）マイニング連合を構築することを想像してください。このような連合により、ブロックを他のメンバーにブロードキャストするのに必要な時間が大幅に短縮される可能性があります。そのような同盟が形成されることを期待していますか?そして、その効果はどうなるのでしょうか?

（３）マイナーが未使用出力（UTXO）のセットを増やすトランザクションを確認すると、マイナーは現在の収入でこれらの新しい出力を将来無期限に保存するためのコストを支払っている。この場合、ビットコインの UTXO セットを拡張するためにユーザーに料金を請求する健全な手数料市場が出現するでしょうか?

ブロック報酬が 0 に下がると、この記事で提案されている分析は成立しなくなることを強調する必要があります。これは、ブロック スペース コストが 0 であることを示します。しかし、これは計算能力が 0 であることも示しており、これはトランザクションがパッケージ化されることはなく、ブロック スペースが生成されないことを意味しており、矛盾しています。幸いなことに、ブロック後の報酬の見通しはゆっくりと検討することができ、それが現実のものとなるまでにはあと四半世紀かかるだろう。遠い将来には、ブロックサイズの制限のない健全な取引手数料市場が存在することが予想されます。

付録

ブロックスペース攻撃曲線は、ブロックサイズ関数_Msupply ( Q )から導出され、孤立化リスクを正確に補償するために必要な手数料を表します。数学的には、マイナーの利益（式5を参照）はブロックスペースの量Qに対して一定のままである必要があります。

したがって

方程式

（A2）は、孤立化のリスクを考慮したブロックスペースQの生成コストを説明します。この記事の目的上、これはブロック ヘッダーを伝播するのにかかる時間として解釈する必要があります。

謝辞

著者は、訂正と提案をしてくださった Christopher E. Wilmer 博士に深く感謝の意を表します。また、著者は、この記事の基礎を築くのに協力してくれた Bitcoin フォーラムの多くの思慮深い人々、そして熱意と励ましを与えてくれた r/bitcoin コミュニティにも感謝したいと思います。

付録：

原文をご確認ください。

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